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Calculs numériques

 

3.2.2. Equation différentielle du second ordre

Description du problème

On se propose de résoudre numériquement sur l'intervalle l'équation différentielle suivante :

 

(1)

 

avec les conditions aux limites .

La solution analytique de cette équation est :

 

(2)

 

Résolution par le schéma numérique de Runge-Kutta

 

 

La méthode de Runge-Kutta appliquée à cette équation du second ordre consiste à la transformer en un système d'équations différentielles du premier ordre à conditions initiales :

 

(3)

 

Avec

 

Pour des raisons pratiques, nous écrivons le système (3) sous forme matricielle :

 

 

Soit :

 

(4)

 

, et

 

La fonction U solution de l'équation (4) est telle que pour  :

 

U1 =u(0) et Un+1 =u(1)=0

 

Les coefficients de Runge-Kutta sont calculés à partir de l'expression suivante :

 

 

Avec et h le pas de discrétisation.

Le programme principal permettant la résolution numérique de cet exemple a été réalisé à l'aide d'Octave et est présenté dans le fichier Equa_RK4_Tir.m. La fonction F(x, U) est implémentée dans un autre fichier nommé F.m et se présente comme suit :

 

function y=F(u,M,B)

    y=M*u+B;

    return

endfunction

 

Le fichier rk4_Equa_octave.m contient la fonction permettant de calculer par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 la solution U pour une condition initiale donnée. Cette fonction reçoit comme arguments d'entrée, les bornes de l'intervalle (x0 et x1), le nombre n d'intervalles et le vecteur condition initiale U 1 .

 

Etude comparative

La résolution de l'équation a été faite pour une valeur de n=10 et comparée à la solution exacte donnée par l'équation (2).

Le tableau ci-après résume également les valeurs obtenues par la méthode des éléments finis et celle des différences finies.

 

x

Solution exacte

RK4 + tir

Erreur RK4

Méthode elts finis

Erreur elts finis

Méthode diff finies

Erreur diff finies

0.000000

0.000000

0.000000

0.00e+00

0.000000

0.00e+00

0.000000

0.00e+00

0.090909

0.028545

0.028412

2.90e-03

0.031310

4.86e-17

0.031569

2.59e-04

0.181818

0.054778

0.028412

2.90e-03

0.031310

4.86e-17

0.031569

2.59e-04

0.272727

0.076573

0.055279

4.28e-03

0.059555

9.71e-17

0.060047

4.92e-04

0.363636

0.092165

0.077661

4.31e-03

0.081971

1.39e-16

0.082648

6.78e-04

0.454545

0.100290

0.093060

3.30e-03

0.096362

1.39e-16

0.097159

7.96e-04

0.545455

0.100290

0.099659

1.66e-03

0.101321

1.53e-16

0.102159

8.37e-04

0.636364

0.092165

0.096502

1.40e-04

0.096362

1.39e-16

0.097159

7.96e-04

0.727273

0.076573

0.083590

1.62e-03

0.081971

1.25e-16

0.082648

6.78e-04

0.818182

0.054778

0.061877

2.32e-03

0.059555

1.04e-16

0.060047

4.92e-04

0.909091

0.028545

0.033181

1.87e-03

0.031310

5.55e-17

0.031569

2.59e-04

1.000000

0.000000

0.000000

1.47e-18

0.000000

1.24e-17

0.000000

1.24e-17

 

Il apparaît clairement que la méthode des éléments finis donne une meilleure précision par rapport à la méthode de Runge-Kutta et celle des différences finies.

 

 

 

3/3

 

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