3.2.2. Equation différentielle du second ordre

Description du problème

On se propose de résoudre numériquement sur l'intervalle l'équation différentielle suivante :

 

 

avec les conditions aux limites .

La solution analytique de cette équation est :

 

 

Résolution par le schéma numérique de Runge-Kutta

 

 

La méthode de Runge-Kutta appliquée à cette équation du second ordre consiste à la transformer en un système d'équations différentielles du premier ordre à conditions initiales :

 

 

Avec

 

Pour des raisons pratiques, nous écrivons le système (3) sous forme matricielle :

 

 

Soit :

 

 

où , et

 

La fonction U solution de l'équation (4) est telle que pour  :

 

U₁ =u(0) et U_n+1 =u(1)=0

 

Les coefficients de Runge-Kutta sont calculés à partir de l'expression suivante :

 

 

Avec et h le pas de discrétisation.

Le programme principal permettant la résolution numérique de cet exemple a été réalisé à l'aide d'Octave et est présenté dans le fichier Equa_RK4_Tir.m. La fonction F(x, U) est implémentée dans un autre fichier nommé F.m et se présente comme suit :

 

function y=F(u,M,B)

    y=M*u+B;

    return

endfunction

 

Le fichier rk4_Equa_octave.m contient la fonction permettant de calculer par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 la solution U pour une condition initiale donnée. Cette fonction reçoit comme arguments d'entrée, les bornes de l'intervalle (x0 et x1), le nombre n d'intervalles et le vecteur condition initiale U 1 .

 

Etude comparative

La résolution de l'équation a été faite pour une valeur de n=10 et comparée à la solution exacte donnée par l'équation (2).

Le tableau ci-après résume également les valeurs obtenues par la méthode des éléments finis et celle des différences finies.

 

 

Il apparaît clairement que la méthode des éléments finis donne une meilleure précision par rapport à la méthode de Runge-Kutta et celle des différences finies.