3.2. Exemples

3.2.1. Résolution numérique de l' équation de Blasius

• Description du problème

L'équation de Blasius est une équation différentielle non linéaire qui s'écrit :

 

Elle est définie sur l'intervalle avec les conditions aux limites suivantes :

 

• Schéma numérique
  • Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4

L'équation de Blasius est une équation différentielle non linéaire du troisième ordre. Elle est transformée en un système d'équations différentielles du premier ordre en posant f'=g et g'=h afin de pouvoir utiliser la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 :

 

(2) avec les conditions aux limites

 

où α est une valeur à déterminer.

Le système d'équation (2) peut se mettre sous forme matricielle en posant:

 

 

C'est-à-dire  ou plus simplement

 

La méthode de Runge-Kutta permet de résoudre une équation différentielle ou un système d'équations différentielles du premier ordre à conditions initiales. Dans notre cas, la condition initiale h(0)= α n'est pas connue alors que h(+∞)=g'(+∞)=0. Il faut donc déterminer la valeur de α permettant de satisfaire à la condition finale g(+∞)=1. La méthode du tir s'impose de ce fait.

• Méthode du tir

L'équation (1) avec des conditions aux limites a été transformée en un système d'équation différentielles du premier ordre à conditions initiales. Nous effectuons un premier « tir » en fixant une valeur de α=α₁ puis nous résolvons le système par la méthode de RK. Soit β₁ la valeur finale de g(+∞). Nous effectuons un second tir avec une valeur de α=α₂≠α₁. Notons β₂ la valeur finale de g(+8) obtenue.

Nous déterminons ensuite par interpolation linéaire ( ) la valeur α=α₃ permettant d'avoir g(+∞)=β=1:

On pose alors h(0)= α₃ puis nous résolvons à nouveau le système. Nous vérifions au final que l'erreur en valeur absolue reste inférieure à un certain seuil :

• Programmes

Si , la solution u(x) de cette équation par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 est telle que :

pour 1 ≤ i ≤ n ; avec :

 

et

 

Le programme permettant la résolution de cette équation se décompose en deux parties. Un programme principal (Equa_Blasius_octave.m) dans lequel la méthode de tir est implémentée et une procédure fonction (rk4blasius_octave.m) implémentant la méthode de RK4. Cette fonction reçoit comme arguments d'entrée les valeurs x₀, x_∞, le nombre n d'intervalles et u₀ le vecteur valeur initiale. Elle retourne le vecteur x contenant les coordonnées des points de discrétisation et le vecteur u solution de l'équation.