2.1.2. Conditions aux limites

2.1.2.1. Conditions aux limites de type Dirichlet

Les valeurs aux frontières, c'est-à-dire aux bornes de l'intervalle [a ;b] sont connues.

 

y(a)=α et y(b)=β.

 

Le pas de discrétisation h de l'espace monodimensionnel est :

 

 

La prise en compte des conditions aux limites dans l'équation (5.b) se traduit par :

Pour i=1 y_i-1=y₀=α et pour i=n, y_i+1=y_N+1=β.

 

En faisant varier i de 1 à n on a :

 

Soit sous forme matricielle :

 

 

 

Avec , et pour i=2 à n-1

 

Cela se présente sous la forme finale :

 

 

Où [M] est une matrice n x n tridiagonale et {y} le vecteur solution recherché.

 

2.1.2.2. Conditions aux limites de type Neumann

Les dérivées aux frontières de l'espace sont connues :

 

 

Ces dérivées sont approximées par une différence centrée à l'ordre 2 (On peut également utiliser une différence décentrée à l'ordre 1 en arrière pour y'(a) et en avant pour y'(b)):

 

i=1 ; —>

i=n ; —>

 

Les valeurs de y₀ et y_n+1 sont substituées dans le système qui devient :

 

 

Avec et . Les autres composantes de la matrice M restant inchangées.

 

 

Note : la méthode des différences finies peut servir à résoudre une équation différentielle non linéaire, c'est-à-dire une équation différentielle où les coefficients a, b et c ne sont plus uniquement fonction de x mais également de y :

 

 

Les méthodes exposées précédemment conduisent à l'obtention d'un système non linéaire qui est par itérations.